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    Axiomas de los Números Reales

    Axiomas de los Números Reales

    AXIOMAS DE NÚMEROS REALES: Sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por R con dos operaciones internas llamadas:

    A) Adición (+): Ψ (a,b) = a+b
    B) Multiplicación (.): Ψ (a,b) = a.b

    ✍ Y una relación de orden “<” (<, se lee “menor que”).

    » Ver: Matemáticas | Cultura General

    1. Axiomas de Adición

    Leyes de los axiomas de la adición:

    AXIOMAS DE LA ADICIÓN
    LEYES
    CARACTERÍSTICAS
    CLAUSURA
    • ∀ a, b ∈ R → a + b ∈ R.
    CONMUTATIVA
    • ∀ a, b ∈ R → a + b = b + a.
    ASOCIATIVA
    • ∀ a, b, c ∈ R → ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
    NEUTRO ADITIVO
    • Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
    • Existe un valor único ∈ R, denotado por “0” (0, se lee cero) tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a.
    INVERSO ADITIVO
    • Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
    • ∀ a ∈ R, existe un valor único denotado por -a tal que: ∀ a ∈ R: a + (-a) = 0 = (-a) + a.
    ❋ Tabla N° 1:Axiomas de la Adición / Elaborada por Carpetapedagogica.com

    2. Axiomas de multiplicación

    Leyes de los axiomas de la multiplicación:

    AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN
    LEYES
    CARACTERÍSTICAS
    CLAUSURA
    • ∀ a,b ∈ R → a.b ∈ R
    CONMUTATIVA
    • ∀ a,b ∈ R → a.b = b.a
    ASOCIATIVA
    • ∀ a,b,c ∈ R → (a.b).c = a.(b.c)
    NEURTO MULTIPLICATIVO
    • Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.
    • Existe un valor único ∈ R, denotado por “1” (1, se lee uno) tal que: ∀ a ∈ R: a.1 = a = 1.a
    INVERSO MULTIPLICATIVO
    • Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
    • ∀ a ∈ R/a ≠ 0; existe un valor único denotado por a ⁻¹ tal que: a. a ⁻¹ = 1 = a ⁻¹. A
    ❋ Tabla N° 2: Axiomas de la Multiplicación / Elaborada por Carpetapedagogica.com

    3. Axiomas de la ley distributiva respecto a la adición

    ∀ a, b, c ∈ R

    AXIOMAS DE LA LEY DISTRIBUTIVA (ADICIÓN)
    DISTRIBUTIVIDAD
    CARACTERÍSTICAS
    POR LA IZQUIERDA
    • a (b + c) = a b + a c
    POR LA DERECHA
    • (a + b) c = ac + bc
    ❋ Tabla N° 3: Axiomas de la Ley Distributiva (Adición) / Elaborada por Carpetapedagogica.com

    4. Axiomas de orden

    Axiomas de orden: Tricotomía, transitiva, monotonía.

    AXIOMAS DE ORDEN
    LEYES
    CARACTERÍSTICAS
    TRICOTOMÍA
    • Dados a y b ∈ R; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a < b, a = b, b < a
    TRANSITIVA
    • ∀ a, b, c ∈ R, se cumple Si; a < b ∧ b < c ⇒ a < c
    MONOTONÍA
    • i)
    ∀ a, b, c ∈ R; si a < b ⇒ a + c < b + c
    • ii)
    Si a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc
    • iii)
    Si a < b ∧ c < 0 ⇒ bc < ac
    ❋ Tabla N° 4: Axiomas de Orden / Elaborada por Carpetapedagogica.com

    5. Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

    ∀ a, b, c ∈ R, se cumple:

    AXIOMAS DE IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
    LEYES
    CARACTERÍSTICAS
    DICOTOMÍA
    • a = b ∨ a ≠ b
    REFLEXIVIDAD
    • a = a
    SIMETRÍA
    • a = b → b = a
    TRANSITIVIDAD:
    • Si: a = b ∧ b = c → a = c
    UNICIDAD DE LA ADICIÓN
    • Si: a = b ⇒ a+c = b+c
    UNICIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
    • Si: a = b ⇒ a.c = b.c
    ❋ Tabla N° 5: Axiomas de la Igualdad de Números Reales / Elaborada por Carpetapedagogica.com

    6. Axiomas del supremo

    Todo conjunto A de números reales (A ≠ 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.

    ❋ Cita: Carpetapedagogica.com (2019). "Axiomas de los Números Reales".

    7. Información complementaria

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