Cuatro Operaciones

Circunferencia

Contenido: Cuatro operaciones fundamentales, métodos de resolución, método de las diferencias, método del cangrejo, método de la falsa suposición.

4 operaciones fundamentales

Las cuatro operaciones fundamentales: Son el instrumento matemático mas antiguo utilizado por el hombre que nos permite resolver problemas de carácter comercial y de la vida diaria.

✍ Con esta denominaciones (+; -; x; ÷), se presentan problemas cuya resolución requiere el conocimiento de las operaciones básicas.

Métodos de resolución

Se ha puesto énfasis en los métodos de resolución de problemas, como:

✍ El método de las diferencias.
✍ El método del cangrejo.
✍ El método de la falsa suposición.
✍ El método el rombo.
✍ La regla conjunta.
✍ Suma y diferencia.

Se aplican a los problemas según las características que presenten; se requiere que el lector reconozca estas características para aplicar el método adecuado.

Los problemas que se pueden resolver por estos métodos también se pueden resolver por procedimientos algebraicos, sin embargo, se trata de dejar de lado el álgebra y sus ecuaciones, que son poderosas herramientas del trabajo matemático, para dar paso al raciocinio puro con los datos numéricos que ofrecen los problemas.

Método de las diferencias

Método aplicado a problemas que presentan 4 datos cuyas características son las siguientes:

✍ Dos datos nos indican el cambio en los precios unitarios y se denomina “Diferencia Unitaria: D.U.”.
✍ Los otros dos datos nos indican el cambio en los precios o ingresos totales, en el haber total, y se denomina “Diferencia Total: D.T.”
✍ La incógnita se despeja dividiendo la diferencia total entre la diferencia unitaria.

Ejercicio propuesto

Si un comerciante vende cada radio en $ 20 podrá comprar un automóvil y le sobrará $ 1200, pero si los vende a $ 18 cada uno comprará el automóvil y sólo le sobrará $ 200. ¿Cuál es el número de radios?

Resolución:

 
PRECIO UNITARIO
PRECIO TOTAL
 
DIFERENCIA UNITARIA
$ 20
Automóvil + $ 1 200
DIFERENCIA TOTAL
$ 18
Automóvil + $ 200

Al vender cada radio en $ 18.

ⓐ En cada radio deja de recibir $ 2.
ⓑ En total dejó de recibir $ 1 000.

∴ Números de radios: $ 1000/2 = 500 (Respuesta).

CONCLUSIÓN
NÚMERO DE RADIOS
=
Diferencia Total
=
D.T.
Diferencia Unitaria
D.U.

Efectivamente:

EFECTIVAMENTE
Números de radios:
(auto+ $ 1200) - (auto + $ 200)
=
$ 1000

$ 500

$ 20 - $ 18
$ 2

Ejercicio propuesto

Si ahorro $. 60 mensuales me faltaría $. 1 500 para comprar una computadora, pero si ahorro $. 100 mensuales me sobraría $. 300. ¿Cuántos meses tengo que ahorrar?

 
AHORRO MENSUAL
AHORRO TOTAL
 
DIFERENCIA UNITARIA
$ 60
Computadora - $ 1 500
DIFERENCIA TOTAL
$ 100
Computadora + $ 300

Resolución:

Si ahorro $. 100 mensuales:

ⓐ En cada mes ahorro $. 40 más.
ⓑ En total ahorro $. 1 800 más.

RESOLUCIÓN
Números de meses de ahorro =
$. 1800
=

$ 45

$ 40

Método del cangrejo

Este método se aplica a problemas que mencionan operaciones sucesivas, de las cuales se conoce el resultado final y se pide averiguar el valor inicial; el procedimiento para resolverlo es del final hacia el inicio, es decir hacia atrás, por esto se denomina “método del cangrejo”, y en cada paso se efectúa la operación inversa a la indicada.

Ejercicio propuesto

Un número se multiplica por 2 y al resultado se le suma 3 obteniéndose 49. ¿Cuál es el número?

Resolución:

✍ Se obtuvo 49 después de sumar 3, entonces antes el resultado fue 49 – 3 = 46.
✍ Se obtuvo 46 después de multiplicar por 2, entonces el número anterior era 46: 2 = 23.

Respuesta: Por lo tanto el número es 23.

En forma resumida podemos expresarlo así:

OPERACIONES HACIA ADELANTE
OPERACIONES HACIA ATRÁS
1)
Número
1)
Número = 23
2)
x 2
2)
46 ÷ 2 = 23
3)
+ 3 = 49
49 - 3 = 46
 
∴ El número es 23 (Respuesta)

Ejercicio propuesto

Al ver que su viaje de promoción no se realizó, Carlitos, estuvo gastando sus ahorros durante 2 días hasta quedarse con $ 20. En cada día gastaba la mitad + $ 1 de lo que quedaba el día anterior. ¿Cuánto había ahorrado Carlitos?

Resolución:

✍ En cada día gasta la mitad + $ 1, entonces le queda la mitad - $ 1. El segundo día se quedó con $ 20 y esto es la mitad de lo que le quedaba el primer día - $ 1.

✍ Se deduce que la mitad de lo que le quedaba el primer día es $ 21, entonces lo que le quedaba el primer día es el doble: $ 42. Pero, el primer día le quedó la mitad de sus ahorros - $ 1, entonces la mitad de sus ahorros es $ 43 y el total de sus ahorros es el doble: $ 86

✍ Este procedimiento se puede observar en la siguiente tabla:

DÍA
QUEDA
MITAD
Segundo día
Mitad - $ 1 = 20
$ 21
Primer día
Mitad - $ 1 = 42
$ 43
Ahorro
$ 86

✍ Recordando que lo que le queda cada día es la mitad de lo que queda el día anterior - $ 1, si se desea observar las operaciones inversas, tendremos que:

OPERACIONES DIRECTAS
OPERACIONES INVERSAS
1)
Ahorro
1)
Ahorro = $ 86
2)
÷ 2
2)
$ 43 x 2 = $ 86
3)
- $ 1
3)
$ 42 + $ 1 = $ 43
4)
÷ 2
4)
$ 21 x 2 = $ 42
5)
- $ 1 = $ 20
$ 20 + $ 1 = $ 21
 
∴ Se habría ahorrado $ 86 (Respuesta).

Método de la falsa suposición

Este método se aplica a problemas que mencionan 4 datos y hay 2 incógnitas, aunque mayormente se pide resolver el problema para una de ellas.

Se caracteriza porque se parte de una suposición falsa y se llega fácilmente a un error (error total); detectado el error individual (error unitario), la incógnita se despeja fácilmente porque es el cociente de ellos.

Ejercicio Propuesto

En un colegio hay 240 alumnos y se recauda mensualmente S/. 22 200 por concepto de pensiones. La pensión de primaria es /. 80 y de secundaria es S/. 100. ¿Cuántos alumnos hay en primaria?

Resolución:

✍ Falsa suposición: Todos los alumnos son de secundaria.

RECAUDACIÓN
240 x S/. 100
S/. 24 000
REACAUDACIÓN REAL
 
S/. 22 200
EXCESO
 
S/. 1 800 (Error total)

✍ Por cada alumno de primaria considerado como de secundaria hay S/. 100 – S/. 80 = S/. 20 de exceso. (Error unitario).

NÚMERO DE ALUMNOS DE PRIMARIA
=
S/. 1 800
=
90
S/. 20

✍ Notas:

I. Si se supone que todos los alumnos son de secundaria, se obtiene como respuesta el número de alumnos de primaria; y si se supone que todos los alumnos son de primaria, se obtiene como respuesta el número de alumnos de secundaria.

INCÓGNITA
=
Error Total
S/. 1 800
=
90
Error Unitario
S/. 20

Ejercicio Propuesto

Al comprar materiales de construcción pagué S/. 910 con 23 billetes, algunos de S/. 20 y otros de S/. 50. ¿Cuántos billetes eran de S/. 50?

Resolución:

✍ Falsa suposición: Todos los billetes son de S/. 20.

PAGUÉ
23 x S/. 20
S/. 460
PAGO REAL
 
S/. 910
FALTA
 
S/. 450 (Error total)

✍ Por cada billete de S/. 20 considerado como de S/. 50 hay S/. 50 – S/. 20 = S/. 30 que falta. (Error unitario).

NÚMERO DE BILLETES DE S/. 50
=
S/. 450
=
15
S/. 30

❋ Cítanos: Carpetapedagogica.com (2017). "Cuatro Operaciones".

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