Axiomas de los Números Reales

Axiomas de los Números Reales

Contenido: Axiomas de los números reales, axiomas de la adicción, axiomas de la multiplicación, axiomas de la ley distributiva respecto a la adición, axiomas de orden, axiomas de la relación de igualdad de los números reales, axiomas del supremo.

¿Qué son los axiomas de número reales?

Sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por R con dos operaciones internas llamadas:

A) Adición (+): Ψ (a,b) = a+b
B) Multiplicación (.): Ψ (a,b) = a.b

✍ Y una relación de orden “<” (<, se lee “menor que”).

Axiomas de Adición

Leyes de los axiomas de la adición:

AXIOMAS DE LA ADICIÓN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
CLAUSURA
  • ∀ a, b ∈ R → a + b ∈ R.
CONMUTATIVA
  • ∀ a, b ∈ R → a + b = b + a.
ASOCIATIVA
  • ∀ a, b, c ∈ R → ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
NEUTRO ADITIVO
  • Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
  • Existe un valor único ∈ R, denotado por “0” (0, se lee cero) tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a.
INVERSO ADITIVO
  • Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
  • ∀ a ∈ R, existe un valor único denotado por -a tal que: ∀ a ∈ R: a + (-a) = 0 = (-a) + a.
❋ Tabla N° 1:Axiomas de la Adición / Elaborada por Carpetapedagogica.com

Axiomas de multiplicación

Leyes de los axiomas de la multiplicación:

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
CLAUSURA
  • ∀ a,b ∈ R → a.b ∈ R
CONMUTATIVA
  • ∀ a,b ∈ R → a.b = b.a
ASOCIATIVA
  • ∀ a,b,c ∈ R → (a.b).c = a.(b.c)
NEURTO MULTIPLICATIVO
  • Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.
  • Existe un valor único ∈ R, denotado por “1” (1, se lee uno) tal que: ∀ a ∈ R: a.1 = a = 1.a
INVERSO MULTIPLICATIVO
  • Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
  • ∀ a ∈ R/a ≠ 0; existe un valor único denotado por a ⁻¹ tal que: a. a ⁻¹ = 1 = a ⁻¹. A
❋ Tabla N° 2: Axiomas de la Multiplicación / Elaborada por Carpetapedagogica.com

Axiomas de la ley distributiva respecto a la adición

∀ a, b, c ∈ R

AXIOMAS DE LA LEY DISTRIBUTIVA (ADICIÓN)
DISTRIBUTIVIDAD
CARACTERÍSTICAS
POR LA IZQUIERDA
  • a (b + c) = a b + a c
POR LA DERECHA
  • (a + b) c = ac + bc
❋ Tabla N° 3: Axiomas de la Ley Distributiva (Adición) / Elaborada por Carpetapedagogica.com

Axiomas de orden

Axiomas de orden: Tricotomía, transitiva, monotonía.

AXIOMAS DE ORDEN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
TRICOTOMÍA
  • Dados a y b ∈ R; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a < b, a = b, b < a
TRANSITIVA
  • ∀ a, b, c ∈ R, se cumple Si; a < b ∧ b < c ⇒ a < c
MONOTONÍA
  • i)
∀ a, b, c ∈ R; si a < b ⇒ a + c < b + c
  • ii)
Si a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc
  • iii)
Si a < b ∧ c < 0 ⇒ bc < ac
❋ Tabla N° 4: Axiomas de Orden / Elaborada por Carpetapedagogica.com

Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

∀ a, b, c ∈ R, se cumple:

AXIOMAS DE IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
LEYES
CARACTERÍSTICAS
DICOTOMÍA
  • a = b ∨ a ≠ b
REFLEXIVIDAD
  • a = a
SIMETRÍA
  • a = b → b = a
TRANSITIVIDAD:
  • Si: a = b ∧ b = c → a = c
UNICIDAD DE LA ADICIÓN
  • Si: a = b ⇒ a+c = b+c
UNICIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
  • Si: a = b ⇒ a.c = b.c
❋ Tabla N° 5: Axiomas de la Igualdad de Números Reales / Elaborada por Carpetapedagogica.com

Axiomas del supremo

Todo conjunto A de números reales (A ≠ 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.

❋ Cita: Carpetapedagogica.com (2017). "Axiomas de los Números Reales".

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Volumen.
Circunferencia.

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