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Axiomas de los Números Reales

Axiomas de los Números Reales

AXIOMAS DE NÚMEROS REALES: Sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por R con dos operaciones internas llamadas:

A) Adición (+): Ψ (a,b) = a+b
B) Multiplicación (.): Ψ (a,b) = a.b

✍ Y una relación de orden “<” (<, se lee “menor que”).

» Ver: Matemáticas | Cultura General

1. Axiomas de Adición

Leyes de los axiomas de la adición:

AXIOMAS DE LA ADICIÓN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
CLAUSURA
  • ∀ a, b ∈ R → a + b ∈ R.
CONMUTATIVA
  • ∀ a, b ∈ R → a + b = b + a.
ASOCIATIVA
  • ∀ a, b, c ∈ R → ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
NEUTRO ADITIVO
  • Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
  • Existe un valor único ∈ R, denotado por “0” (0, se lee cero) tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a.
INVERSO ADITIVO
  • Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
  • ∀ a ∈ R, existe un valor único denotado por -a tal que: ∀ a ∈ R: a + (-a) = 0 = (-a) + a.
❋ Tabla N° 1:Axiomas de la Adición / Elaborada por Carpetapedagogica.com

2. Axiomas de multiplicación

Leyes de los axiomas de la multiplicación:

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
CLAUSURA
  • ∀ a,b ∈ R → a.b ∈ R
CONMUTATIVA
  • ∀ a,b ∈ R → a.b = b.a
ASOCIATIVA
  • ∀ a,b,c ∈ R → (a.b).c = a.(b.c)
NEURTO MULTIPLICATIVO
  • Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.
  • Existe un valor único ∈ R, denotado por “1” (1, se lee uno) tal que: ∀ a ∈ R: a.1 = a = 1.a
INVERSO MULTIPLICATIVO
  • Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
  • ∀ a ∈ R/a ≠ 0; existe un valor único denotado por a ⁻¹ tal que: a. a ⁻¹ = 1 = a ⁻¹. A
❋ Tabla N° 2: Axiomas de la Multiplicación / Elaborada por Carpetapedagogica.com

3. Axiomas de la ley distributiva respecto a la adición

∀ a, b, c ∈ R

AXIOMAS DE LA LEY DISTRIBUTIVA (ADICIÓN)
DISTRIBUTIVIDAD
CARACTERÍSTICAS
POR LA IZQUIERDA
  • a (b + c) = a b + a c
POR LA DERECHA
  • (a + b) c = ac + bc
❋ Tabla N° 3: Axiomas de la Ley Distributiva (Adición) / Elaborada por Carpetapedagogica.com

4. Axiomas de orden

Axiomas de orden: Tricotomía, transitiva, monotonía.

AXIOMAS DE ORDEN
LEYES
CARACTERÍSTICAS
TRICOTOMÍA
  • Dados a y b ∈ R; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a < b, a = b, b < a
TRANSITIVA
  • ∀ a, b, c ∈ R, se cumple Si; a < b ∧ b < c ⇒ a < c
MONOTONÍA
  • i)
∀ a, b, c ∈ R; si a < b ⇒ a + c < b + c
  • ii)
Si a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc
  • iii)
Si a < b ∧ c < 0 ⇒ bc < ac
❋ Tabla N° 4: Axiomas de Orden / Elaborada por Carpetapedagogica.com

5. Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

∀ a, b, c ∈ R, se cumple:

AXIOMAS DE IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
LEYES
CARACTERÍSTICAS
DICOTOMÍA
  • a = b ∨ a ≠ b
REFLEXIVIDAD
  • a = a
SIMETRÍA
  • a = b → b = a
TRANSITIVIDAD:
  • Si: a = b ∧ b = c → a = c
UNICIDAD DE LA ADICIÓN
  • Si: a = b ⇒ a+c = b+c
UNICIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
  • Si: a = b ⇒ a.c = b.c
❋ Tabla N° 5: Axiomas de la Igualdad de Números Reales / Elaborada por Carpetapedagogica.com

6. Axiomas del supremo

Todo conjunto A de números reales (A ≠ 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.

❋ Cita: Carpetapedagogica.com (2019). "Axiomas de los Números Reales".

7. Información complementaria

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Contenido: Artículos Educativos.
Nivel educativo: Secundaria., Año: 2019.

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