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Ejercicios de Análisis Vectorial

Por: Andersson De La Cruz Arbildo

Ejercicios de Análisis Vectorial

CURSO FÍSICA: EJERCICIOS DE ANÁLISIS VECTORIAL.

» Asesor Académico: Andersson De La Cruz Arbildo

Ejercicios de análisis vectorial resueltos

Ejercicios:

1. La resultante entre dos vectores de 10 y 15 unidades es 20 unidades. Calcular el ángulo que forman las componentes.

Solución:

Por la ley de cosenos: \begin{equation} \begin{aligned} R^2 & = A^2 + B^2 + 2AB cos \theta \\ 20^2 & = 10^2 + 15^2 + 2.10.15 cos \theta \\ cos \theta & = \frac{1}{4} \\ \theta & = arcCos (\frac{1}{4}) \\ \theta & \approx 75.52° \end{aligned} \end{equation}

2. A partir de los vectores mostrados, calcule un vector perpendicular al plano determinado por los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \), el cual tiene un módulo de \( \sqrt{13} \).

Solución:

Reescribimos los puntos dados en coordenadas rectangulares.

Calculamos \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) : \begin{equation} \begin{aligned} \vec{A} & = (3,0,0) - (0,0,2) = (3,0,-2) \\ \vec{A} & = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} - 2 \hat{k} \\ \vec{B} & = (3,4,0) - (0,0,2) = (3,4,-2) \\ \vec{B} & = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k} \end{aligned} \end{equation} Aplicamos el producto vectorial para hallar un vector \( \vec{N} \) perpendicular al plano \begin{equation} \vec{N}=\vec{A} \text{x} \vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 0 \hat{j} + 12 \hat{k} \end{equation} , luego hay que calcular el vector unitario perpendicular al plano. \begin{equation} \hat{n}=\frac{\vec{N}}{N} \end{equation} \begin{equation} N = \sqrt{ 8^2 + 0^2 +12^2 } = \sqrt{208} \end{equation} Me piden hallar el vector \( \vec{C} \) que es paralelo a \( \hat{n} \) y tiene módulo \( \sqrt{13} \), entonces \begin{equation} \begin{aligned} \vec{C} & = \sqrt{13} \hat{n} \\ \vec{C} & = \sqrt{13} \frac{8\hat{i} + 0 \hat{j} + 12 \hat{k}} {\sqrt{208}} \\ \vec{C} & = \frac{8\hat{i} + 0 \hat{j} + 12 \hat{k}} {\sqrt{16}} \\ \vec{C} & = \frac{8\hat{i} + 0 \hat{j} + 12 \hat{k}} {4} \end{aligned} \end{equation} $$ \boxed{\vec{C} = 2\hat{i} + 0 \hat{j} + 3 \hat{k}} $$

3. Dos vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) forman un ángulo de 120°. Si \( a=3 \) y \( b=4 \); calcule el producto escalar \( (3\vec{a}-2\vec{b}).(\vec{a}+2\vec{b}) \)

Solución:

Recordar el producto escalar de 2 vectores es : $$ \vec{P}.\vec{Q}=PQ Cos \theta $$ Se desarrolla el producto de la siguiente forma \begin{equation} \begin{aligned} (3\vec{a}-2\vec{b}).(\vec{a}+2\vec{b}) & = 3 \vec{a} . \vec{a} + 3 \vec{a} . 2 \vec{b} - 2 \vec{b}.\vec{a} - 2\vec{b}.2\vec{b} \\ & = 3a^2+4\vec{a}.\vec{b} - 4b^2 \\ & = 3a^2+4abCos(120°) - 4b^2 \\ & = 3.3^2+4.3.4.\frac{-1}{2} - 4.4^2 \end{aligned} \end{equation} $$ \boxed{(3\vec{a}-2\vec{b}).(\vec{a}+2\vec{b})=-61} $$

4. Calcule la resultante de los vectores mostrados, en función de los vectores unitarios \( \hat{u}_1 \) y \( \hat{u}_2 \).

Solución:

Representamos cada vector en función de las bases \( \hat{u}_1 \) y \( \hat{u}_2 \), \begin{equation} \begin{aligned} \vec{a} & = -2 \hat{u}_2 \\ \vec{b} & = - \hat{u}_1 \\ \vec{c} & = 2 \hat{u}_1 + 2 \hat{u}_2 \\ \vec{d} & = 3 \hat{u}_1 - 2 \hat{u}_2 \end{aligned} \end{equation} luego , sumamos los vectores: \begin{equation} \begin{aligned} \vec{R} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\\ \vec{R} & = (-1+2+3) \hat{u}_1 + (-2+2-2)\hat{u}_2\\ \end{aligned} \end{equation} $$ \boxed{ \vec{R}= 4 \hat{u}_1 -2 \hat{u}_2 } $$

5. A partir del sistema mostrado, calcule el módulo de la resultante.

Solución:

Vemos que los vectores forman ángulos poco conocidos con los ejes X e Y, entonces lo que se propone es girar todos los vectores 19° en sentido horario, luego se aprecia que los nuevos ángulos formados con los ejes X e Y son conocidos y procedemos con la descomposición rectangular.

Finalmente escribimos las coordenadas de los vectores rotados, \begin{equation} \begin{aligned} \vec{A} & = (26,0)\\ \vec{B} & = (-4,4)\\ \vec{C} & = (-16,-12) \end{aligned} \end{equation} y procedemos a calcular la resultante. \begin{equation} \begin{aligned} \vec{R} & = \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}\\ & = (26,0)+(-4,4)+(-16,-12)\\ & = (6,-8) \end{aligned} \end{equation}

Recuerden que cuando rotamos los vectores solo cambia el ángulo que forma con el eje X e Y pero el módulo no cambia. Entonces el módulo del vector \( \vec{R} \) rotado es el mismo módulo que \( \vec{R} \) sin rotar.

\begin{equation} \begin{aligned} \| \vec{R} \| & = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} \\ & = \sqrt{36 + 64} \end{aligned} \end{equation} $$ \boxed{\| \vec{R} \| = 10} $$

6. Si la arista del cubo es de 2u, determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

Solución:

Nos damos cuenta que el vector \( \vec{b} \) y \( \vec{c} \) son consecutivos y si transladamos el vector \( \vec{a} \) hacia abajo, entonces así los tres vectores serán consecutivos. En este caso usamos el método del polígono en 3 dimensiones, donde finalmente la resultante seria el vector \( \vec{R} \) indicado en el gráfico.

Dado que cada lado mide 2u, usamos el teorema de Pitágoras para calcular el módulo de la resultante \begin{equation} \begin{aligned} \| \vec{R} \| & = \sqrt{2^2 + 2^2} \\ & = \sqrt{8} \end{aligned} \end{equation} $$ \boxed{\| \vec{R} \| = 2\sqrt{2}u} $$

7. Si el vector \( \vec{X} \) se puede expresar de la forma \( \vec{X} = c \vec{A} + d \vec{B} \) , donde c y d son números enteros, determine c + d.

Solución:

El gráfico nos indica que \( \vec{X} \) llega al punto medio de la base del triángulo (en Q), luego trazamos los vectores \( \vec{L} \) en la base, ver el gráfico.

En el triángulo MNQ la suma de vectores es, $$ \vec{X} = \vec{A} + \vec{L} \ ...\ (i)$$ y en el triángulo NQP la suma de vectores es, \begin{equation} \begin{aligned} \vec{B} & = \vec{X} + \vec{L} \\ \vec{X} & = \vec{B} - \vec{L} \ ...\ (ii) \end{aligned} \end{equation} Sumamos las ecuaciones (i) y (ii), \begin{equation} \begin{aligned} \vec{X} + \vec{X} & = \vec{A} + \vec{L} + \vec{B} - \vec{L} \\ 2\vec{X} & = \vec{A} + \vec{B} \\ \vec{X} & = \frac{1}{2}. \vec{A} + \frac{1}{2}. \vec{B} \end{aligned} \end{equation} , entonces se determina que \( c=d=\frac{1}{2} \) y nos piden \( \boxed{ c+d= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1} \).

8. En la figura mostrada \( \vec{P} = r\vec{A} + n\vec{B}\). Hallar el valor numérico de "r" y "n". Cada cuadrado es de lado 1cm.

Solución:

Escribimos las coordenadas de los vectores \begin{equation} \begin{aligned} \vec{A} & = (-3,-2) \\ \vec{B} & = (-1,3) \\ \vec{P} & = (2,-3) \end{aligned} \end{equation} y reemplazamos los valores encontrados en la ecuación anteriormente mencionada, \begin{equation} \begin{aligned} \vec{P} & = r\vec{A} + n\vec{B} \\ (2,-3) & = r(-3,-2) + n(-1,3) \\ (2,-3) & = (-3r,-2r) + (-n,3n) \\ (2,-3) & = (-3r-n,-2r+3n) \end{aligned} \end{equation} Igualamos cada término, \begin{equation} \begin{aligned} 2 & =-3r-n \\ (2 & =-3r-n) \text{x} 3 \\ 6 & =-9r-3n \ ...\ (i)\\ \\ -3 & =-2r+3n \ ...\ (ii) \end{aligned} \end{equation} , y sumamos las ecuaciones (i) y (ii). \begin{equation} \begin{aligned} 6-3 & =-9r-3n -2r+3n \\ 3 & = -11 r \end{aligned} \end{equation} $$\boxed{r = -\frac{3}{11}}$$ reemplazando "r" en la ecuación (ii), tenemos $$ -3 =-2 ( -\frac{3}{11} ) +3n $$ $$ \boxed{n = -\frac{13}{11}} $$

9. Se muestra un cuadrado de lado 8u. Determine el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados. Considere de A y B son puntos medios de sus respectivos lados.

Solución:

Escribimos las coordenadas de los vectores, \begin{equation} \begin{aligned} \vec{a} & = (4,8) \\ \vec{b} & = (8,8) \\ \vec{c} & = (8,4) \\ \end{aligned} \end{equation} , hallamos el vector resultante. \begin{equation} \begin{aligned} \vec{R} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ & = (4,8) + (8,8) + (8,4) \\ & = (20,20) \\ \end{aligned} \end{equation} Entonces el módulo de la resultante es $$ \| \vec{R} \| = \sqrt{20^2 + 20^2} $$ $$ \boxed{\| \vec{R} \| = 20 \sqrt{2}} $$

10. Si el gráfico mostrado es un trapecio, determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, considere que m es punto medio de ab.

Solución:

Trazamos los vectores \( \vec{C} \), \( \vec{D} \) y \( \vec{E} \), luego analizamos el triángulo mbc $$ \vec{A} = \vec{C} + \vec{D}\ ...\ (i)$$ y usamos el triángulo amd \begin{equation} \begin{aligned} \vec{E} & = \vec{C} + \vec{B} \\ \vec{B} & = \vec{E} - \vec{C}\ ...\ (ii) \end{aligned} \end{equation}

Finalmente sumamos las ecuaciones (i) y (ii) para hallar la resultante. \begin{equation} \begin{aligned} \vec{R} & = \vec{A} + \vec{B} \\ & = \vec{C} + \vec{D} + \vec{E} - \vec{C}\\ & = \vec{D} + \vec{E} \end{aligned} \end{equation} Como \( \vec{D} \) y \( \vec{E} \) son paralelos y tienen el mismo sentido, el módulo del vector resultante seria la suma de los módulos, de los vectores compomentes.

$$ \| \vec{R} \| = \| \vec{D} \| + \| \vec{E} \| $$ $$ \boxed{\| \vec{R} \| = 2u + 5u = 7u} $$

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Andersson David De La Cruz Arbildo
Andersson David De La Cruz Arbildo

Andersson David De La Cruz Arbildo: Bachiller en Física de la Facultad de Ciencias Físicas de la Escuela Académico Profesional de Física de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Perú. Además docente de diversas instituciones educativas del Perú y asesor de contenidos en el área de Ciencias Físicas en la Plataforma Educativa Virtual Carpetapedagogica.com

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