CURSO FÍSICA: EJERCICIOS DE ANÁLISIS DIMENSIONAL

Ejercicios:

1. La fuerza centrípeta depende de la masa, la velocidad y del radio de giro del cuerpo en rotación. Hallar la fórmula concreta, para la fuerza centrípeta.

Solución:

$$ Fc= (masa)^x (velocidad)^y (radio)^z $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [Fc]= [masa]^x [velocidad]^y [radio]^z $$ $$ MLT^{-2}= M^x (LT^{-1})^y L^z $$ $$ MLT^{-2}= M^x L^{y+z} T^{-y} $$

Se iguala las bases y los exponentes:

$$ 1=x $$ $$ -2=-y $$ $$ y=2 $$ $$ 1=y+z $$ $$ z=-1 $$

Se reescribe la ecuación:

$$ Fc= (masa)^1 (velocidad)^2 (radio)^{-1} $$ $$ \boxed{ Fc= m \frac{v^2}{R}} $$

2. La fórmula de Bernoulli para medir la energía de un líquido que discurre es:

$$ E= ( h + \frac{P}{P.e.} + \frac{v^2}{2g} ).w $$

Donde: h:altura; P: presión; P.e.:peso específico; v:velocidad; g:gravedad y w:peso.

Hallar su ecuación dimensional.

Solución:

$$ E= hw + \frac{Pw}{P.e.} + \frac{v^2 w}{2g} $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E]= [hw] = [\frac{Pw}{P.e.}] = [\frac{v^2 w}{2g}] $$

Solo uso el primer y segundo término de la igualdad:

$$ [E]=[h][w] $$ $$ [E]=L.MLT^{-2} $$ $$ \boxed{[E]=ML^2T^{-2}} $$

3. La fórmula de la energía cinética, es:

$$ E_c=\frac{1}{2}mv^2 $$

Hallar la ecuacion dimensional.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E_c]=[\frac{1}{2}][m][v]^2 $$ $$ [E_c]=1.M.(LT^{-1})^2 $$ $$ \boxed{[E_c]=ML^2T^{-2}} $$

4. La formula de la energía potencial es:

$$ E_p=p.h $$

Hallar su ecuación dimensional.

Solución:

Se sabe que "p" es peso y "h" es altura, entonces se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E_p]=[p][h] $$ $$ [E_p]=MLT^{-2}.L $$ $$ \boxed{[E_p]=ML^2T^{-2}} $$

5. La ecuación:

$$ Ax + \frac{1}{3} By = (\frac{1}{5})^{1/3} DFx + \frac{3}{2} DB cos 2\theta $$

Es la expresión de un proceso físico concreto. Hallar la ecuación dimensional de "D" y de "y".

Donde: A:aceleración; B:velocidad; F:fuerza y θ:ángulo.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [Ax] = [\frac{1}{3} By] = [(\frac{1}{5})^{1/3} DFx] = [\frac{3}{2} DB cos 2\theta] $$ $$ [A][x] = [\frac{1}{3}] [B][y] = [(\frac{1}{5})^{1/3}] [D][F][x] = [\frac{3}{2}] [D][B] [cos 2\theta] $$ $$ [A][x] = 1.[B][y] = 1.[D][F][x] = 1.[D][B].1 $$ $$ [A][x] = [B][y] = [D][F][x] = [D][B] $$

Uso el primer y tercer término de la igualdad:

$$ [A][x] = [D][F][x] $$ $$ [A] = [D][F] $$ $$ LT^{-2} = [D]MLT^{-2} $$ $$ \boxed{[D]=M^{-1}} $$

Finalmente uso el segundo y cuarto término de la igualdad:

$$ [B][y] = [D][B] $$ $$ [y] = [D] $$ $$ \boxed{[y]=M^{-1}} $$

6. La energía de un choque es:

$$ E=(1-k^2)\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.\frac{(v_1-v_2)^2}{2} $$

Donde:

$$ k=\frac{v'_2 - v'_1}{v_1 - v_2} $$

Calcular su ecuación dimensional.

Solución:

Recordar que la ecuación dimensional de una suma o resta es igual a la dimensión de uno de sus componentes:

$$[a \pm b]=[a]=[b]$$

Consideramos que "v" es velocidad y "m" es masa, analizamos la dimensión de k:

$$ [k]=\frac{[v'_2 - v'_1]}{[v_1 - v_2]} $$ $$ [k]=\frac{[v'_2]}{[v_1]} $$ $$ [k]=\frac{LT^{-2}}{LT^{-2}} $$ $$ [k]=1 $$

k es adimensional, es decir, es un número. Aplicamos el principio de homogeneidad a toda la ecuación.

$$ [E]=[1-k^2]\frac{[m_1 m_2]}{[m_1 + m_2]}.\frac{[v_1-v_2]^2}{[2]} $$ $$ [E]=[1]\frac{[m_1] [m_2]}{[m_1]}.\frac{[v_1]^2}{1} $$ $$ [E]=\frac{[m_1] [m_2]}{[m_1]}.[v_1]^2 $$ $$ [E]= [m_2].[v_1]^2 $$ $$ [E]= M.(LT^{-1})^2 $$ $$ \boxed{[E]= ML^2T^{-2}} $$

7. Hallar las dimensiones de "x" para que la expresión sea dimensionalmente correcta:

$$ x^2 \alpha_1 = sen30^o (\alpha+\alpha_2)w$$ $$ \alpha,\ \alpha_1,\ \alpha_2 \ : aceleración \ angular $$ $$ w: velocidad \ angular $$

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [x]^2 [\alpha_1] = [sen30^o] [\alpha+\alpha_2][w]$$ $$ [x]^2 [\alpha_1] = 1.[\alpha][w]$$ $$ [x]^2 T^{-2} = T^{-2}T^{-1}$$ $$ [x]^2 = T^{-1}$$ $$ \boxed{[x] = T^{-1/2}}$$

8. Determinar [xyz], si la expresión dada es dimensionalmente correcta:

$$ wsen\theta = \frac{x}{2t^2}+\frac{d+y}{z} $$

Donde: w: velocidad angular; t: tiempo; d: longitud y θ: ángulo.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [w][sen\theta] = \frac{[x]}{[2t^2]} = \frac{[d+y]}{[z]} $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[2][t]^2} = \frac{[d+y]}{[z]} $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} = \frac{[d]}{[z]}\ ...\ (i) $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} = \frac{[y]}{[z]}\ ...\ (ii) $$

Uso el primer y segundo término de la ecuación (i)

$$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} $$ $$ T^{-1} = \frac{[x]}{T^2} $$ $$ [x]=T $$

Uso el primer y tercer término de la ecuación (i)

$$ [w] = \frac{[d]}{[z]} $$ $$ T^{-1} = \frac{L}{[z]} $$ $$ [z]=LT $$

Uso el primer y tercer término de la ecuación (ii)

$$ [w] = \frac{[y]}{[z]} $$ $$ T^{-1} = \frac{[y]}{LT} $$ $$ [y]=L $$

Entonces:

$$ \boxed{[xyz]=[x][y][z]=T.L.LT =L^2 T^2}$$

9. Hallar las dimensiones de "x" en la siguiente ecuación mostrada:

$$ sec^2(\alpha + \theta) \frac{mE}{C} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{... \infty}}}} $$

Donde: α y θ (ángulos); m (masa); C (cantidad de movimineto) y E (presión).

Solución:

Primero hay que hallar el exponente de "x":

$$ x^a = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{... \infty}}}} $$ $$ x^a = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}...\infty $$ $$ a=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+...\infty $$ $$ a=\frac{1}{2}(1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+...\infty}_{a}) $$ $$ a=\frac{1}{2}(1+a) $$ $$ a=\frac{1}{2}+\frac{a}{2} $$ $$ \frac{a}{2}=\frac{1}{2} $$ $$ a=1 $$

Reescribimos la ecuación:

$$ sec^2(\alpha + \theta) \frac{mE}{C} = x $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [sec^2(\alpha + \theta)] \frac{[m][E]}{[C]} = [x] $$ $$ \frac{[m][E]}{[C]} = [x] $$ $$ \frac{M.ML^{-1}T^{-2}}{MLT^{-1}} = [x] $$ $$ \boxed{[x]=ML^{-2}T^{-1}} $$

10. Un cuerpo se mueve, y su trayectoria está definida por:

$$ x= \frac{v^2}{2A(sen \alpha + \mu _k cos \alpha)} $$

Donde x: distancia; v: velocidad; μk: adimensional; α:ángulo. Hallar las dimensiones de A.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [x]= \frac{[v]^2}{[2][A][sen \alpha + \mu _k cos \alpha]} $$ $$ [x]= \frac{[v]^2}{[2][A][sen \alpha]} $$ $$ [x]= \frac{[v]^2}{[A]} $$ $$ [A]= \frac{[v]^2}{[x]} $$ $$ [A]= \frac{(LT^{-1})^2}{L} $$ $$ \boxed{[A]=LT^{-2} }$$