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Ejercicios de Análisis Dimensional

Por: Andersson De La Cruz Arbildo

Ejercicios de Análisis Dimensional

CURSO FÍSICA: EJERCICIOS DE ANÁLISIS DIMENSIONAL

Ejercicios de análisis dimensional resueltos

Ejercicios:

1. La fuerza centrípeta depende de la masa, la velocidad y del radio de giro del cuerpo en rotación. Hallar la fórmula concreta, para la fuerza centrípeta.

Solución:

$$ Fc= (masa)^x (velocidad)^y (radio)^z $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [Fc]= [masa]^x [velocidad]^y [radio]^z $$ $$ MLT^{-2}= M^x (LT^{-1})^y L^z $$ $$ MLT^{-2}= M^x L^{y+z} T^{-y} $$

Se iguala las bases y los exponentes:

$$ 1=x $$ $$ -2=-y $$ $$ y=2 $$ $$ 1=y+z $$ $$ z=-1 $$

Se reescribe la ecuación:

$$ Fc= (masa)^1 (velocidad)^2 (radio)^{-1} $$ $$ \boxed{ Fc= m \frac{v^2}{R}} $$

2. La fórmula de Bernoulli para medir la energía de un líquido que discurre es:

$$ E= ( h + \frac{P}{P.e.} + \frac{v^2}{2g} ).w $$

Donde: h:altura; P: presión; P.e.:peso específico; v:velocidad; g:gravedad y w:peso.

Hallar su ecuación dimensional.

Solución:

$$ E= hw + \frac{Pw}{P.e.} + \frac{v^2 w}{2g} $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E]= [hw] = [\frac{Pw}{P.e.}] = [\frac{v^2 w}{2g}] $$

Solo uso el primer y segundo término de la igualdad:

$$ [E]=[h][w] $$ $$ [E]=L.MLT^{-2} $$ $$ \boxed{[E]=ML^2T^{-2}} $$

3. La fórmula de la energía cinética, es:

$$ E_c=\frac{1}{2}mv^2 $$

Hallar la ecuacion dimensional.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E_c]=[\frac{1}{2}][m][v]^2 $$ $$ [E_c]=1.M.(LT^{-1})^2 $$ $$ \boxed{[E_c]=ML^2T^{-2}} $$

4. La formula de la energía potencial es:

$$ E_p=p.h $$

Hallar su ecuación dimensional.

Solución:

Se sabe que "p" es peso y "h" es altura, entonces se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [E_p]=[p][h] $$ $$ [E_p]=MLT^{-2}.L $$ $$ \boxed{[E_p]=ML^2T^{-2}} $$

5. La ecuación:

$$ Ax + \frac{1}{3} By = (\frac{1}{5})^{1/3} DFx + \frac{3}{2} DB cos 2\theta $$

Es la expresión de un proceso físico concreto. Hallar la ecuación dimensional de "D" y de "y".

Donde: A:aceleración; B:velocidad; F:fuerza y θ:ángulo.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [Ax] = [\frac{1}{3} By] = [(\frac{1}{5})^{1/3} DFx] = [\frac{3}{2} DB cos 2\theta] $$ $$ [A][x] = [\frac{1}{3}] [B][y] = [(\frac{1}{5})^{1/3}] [D][F][x] = [\frac{3}{2}] [D][B] [cos 2\theta] $$ $$ [A][x] = 1.[B][y] = 1.[D][F][x] = 1.[D][B].1 $$ $$ [A][x] = [B][y] = [D][F][x] = [D][B] $$

Uso el primer y tercer término de la igualdad:

$$ [A][x] = [D][F][x] $$ $$ [A] = [D][F] $$ $$ LT^{-2} = [D]MLT^{-2} $$ $$ \boxed{[D]=M^{-1}} $$

Finalmente uso el segundo y cuarto término de la igualdad:

$$ [B][y] = [D][B] $$ $$ [y] = [D] $$ $$ \boxed{[y]=M^{-1}} $$

6. La energía de un choque es:

$$ E=(1-k^2)\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.\frac{(v_1-v_2)^2}{2} $$

Donde:

$$ k=\frac{v'_2 - v'_1}{v_1 - v_2} $$

Calcular su ecuación dimensional.

Solución:

Recordar que la ecuación dimensional de una suma o resta es igual a la dimensión de uno de sus componentes:

$$[a \pm b]=[a]=[b]$$

Consideramos que "v" es velocidad y "m" es masa, analizamos la dimensión de k:

$$ [k]=\frac{[v'_2 - v'_1]}{[v_1 - v_2]} $$ $$ [k]=\frac{[v'_2]}{[v_1]} $$ $$ [k]=\frac{LT^{-2}}{LT^{-2}} $$ $$ [k]=1 $$

k es adimensional, es decir, es un número. Aplicamos el principio de homogeneidad a toda la ecuación.

$$ [E]=[1-k^2]\frac{[m_1 m_2]}{[m_1 + m_2]}.\frac{[v_1-v_2]^2}{[2]} $$ $$ [E]=[1]\frac{[m_1] [m_2]}{[m_1]}.\frac{[v_1]^2}{1} $$ $$ [E]=\frac{[m_1] [m_2]}{[m_1]}.[v_1]^2 $$ $$ [E]= [m_2].[v_1]^2 $$ $$ [E]= M.(LT^{-1})^2 $$ $$ \boxed{[E]= ML^2T^{-2}} $$

7. Hallar las dimensiones de "x" para que la expresión sea dimensionalmente correcta:

$$ x^2 \alpha_1 = sen30^o (\alpha+\alpha_2)w$$ $$ \alpha,\ \alpha_1,\ \alpha_2 \ : aceleración \ angular $$ $$ w: velocidad \ angular $$

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [x]^2 [\alpha_1] = [sen30^o] [\alpha+\alpha_2][w]$$ $$ [x]^2 [\alpha_1] = 1.[\alpha][w]$$ $$ [x]^2 T^{-2} = T^{-2}T^{-1}$$ $$ [x]^2 = T^{-1}$$ $$ \boxed{[x] = T^{-1/2}}$$

8. Determinar [xyz], si la expresión dada es dimensionalmente correcta:

$$ wsen\theta = \frac{x}{2t^2}+\frac{d+y}{z} $$

Donde: w: velocidad angular; t: tiempo; d: longitud y θ: ángulo.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [w][sen\theta] = \frac{[x]}{[2t^2]} = \frac{[d+y]}{[z]} $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[2][t]^2} = \frac{[d+y]}{[z]} $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} = \frac{[d]}{[z]}\ ...\ (i) $$ $$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} = \frac{[y]}{[z]}\ ...\ (ii) $$

Uso el primer y segundo término de la ecuación (i)

$$ [w] = \frac{[x]}{[t]^2} $$ $$ T^{-1} = \frac{[x]}{T^2} $$ $$ [x]=T $$

Uso el primer y tercer término de la ecuación (i)

$$ [w] = \frac{[d]}{[z]} $$ $$ T^{-1} = \frac{L}{[z]} $$ $$ [z]=LT $$

Uso el primer y tercer término de la ecuación (ii)

$$ [w] = \frac{[y]}{[z]} $$ $$ T^{-1} = \frac{[y]}{LT} $$ $$ [y]=L $$

Entonces:

$$ \boxed{[xyz]=[x][y][z]=T.L.LT =L^2 T^2}$$

9. Hallar las dimensiones de "x" en la siguiente ecuación mostrada:

$$ sec^2(\alpha + \theta) \frac{mE}{C} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{... \infty}}}} $$

Donde: α y θ (ángulos); m (masa); C (cantidad de movimineto) y E (presión).

Solución:

Primero hay que hallar el exponente de "x":

$$ x^a = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{... \infty}}}} $$ $$ x^a = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}...\infty $$ $$ a=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+...\infty $$ $$ a=\frac{1}{2}(1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+...\infty}_{a}) $$ $$ a=\frac{1}{2}(1+a) $$ $$ a=\frac{1}{2}+\frac{a}{2} $$ $$ \frac{a}{2}=\frac{1}{2} $$ $$ a=1 $$

Reescribimos la ecuación:

$$ sec^2(\alpha + \theta) \frac{mE}{C} = x $$

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [sec^2(\alpha + \theta)] \frac{[m][E]}{[C]} = [x] $$ $$ \frac{[m][E]}{[C]} = [x] $$ $$ \frac{M.ML^{-1}T^{-2}}{MLT^{-1}} = [x] $$ $$ \boxed{[x]=ML^{-2}T^{-1}} $$

10. Un cuerpo se mueve, y su trayectoria está definida por:

$$ x= \frac{v^2}{2A(sen \alpha + \mu _k cos \alpha)} $$

Donde x: distancia; v: velocidad; μk: adimensional; α:ángulo. Hallar las dimensiones de A.

Solución:

Se aplica el principio de homogeneidad:

$$ [x]= \frac{[v]^2}{[2][A][sen \alpha + \mu _k cos \alpha]} $$ $$ [x]= \frac{[v]^2}{[2][A][sen \alpha]} $$ $$ [x]= \frac{[v]^2}{[A]} $$ $$ [A]= \frac{[v]^2}{[x]} $$ $$ [A]= \frac{(LT^{-1})^2}{L} $$ $$ \boxed{[A]=LT^{-2} }$$

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Andersson David De La Cruz Arbildo
Andersson David De La Cruz Arbildo

Andersson David De La Cruz Arbildo: Bachiller en Física de la Facultad de Ciencias Físicas de la Escuela Académico Profesional de Física de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Perú. Además, docente de diversas instituciones educativas del Perú y asesor de contenidos en el área de Ciencias Físicas en la Plataforma Educativa Virtual Carpetapedagogica.com

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